作為一個(gè)具有劃時(shí)代意義的創(chuàng)造，相比于其他數(shù)學(xué)理論而言，微積分從誕生到發(fā)展成熟似乎經(jīng)歷了更加曲折的過程。接下來，讓我們走近在這個(gè)曲折過程中做出重要貢獻(xiàn)的關(guān)鍵人物——“嚴(yán)格分析奠基者”柯西，一起看一看他的微積分原理吧~撰文 | 棠經(jīng)過半個(gè)世紀(jì)的醞釀，牛頓與萊布尼茲終于完成了微積分創(chuàng)立過程中最后也是最關(guān)鍵的一步。而微積分的發(fā)展從這里才剛剛開始。在第二次數(shù)學(xué)危機(jī)中，來自貝克萊主教的質(zhì)疑使得數(shù)學(xué)家們想盡辦法維護(hù)自己的尊嚴(yán)，而柯西正是這場(chǎng)分析嚴(yán)格化運(yùn)動(dòng)中的奠基者，也是真正有影響的先驅(qū)。相比于牛頓、萊布尼茲創(chuàng)立的微積分而言，柯西的微積分原理有什么不同？與前人的微積分原理相比，柯西有什么繼承，又有什么進(jìn)一步的發(fā)展呢？讓我們一起尋找答案~1一個(gè)受爭(zhēng)議的數(shù)學(xué)家——柯西提到柯西，相信學(xué)過高等數(shù)學(xué)后，我們對(duì)他的名字都不陌生，隨口就能說出很多以他的名字命名的數(shù)學(xué)定理或公式：柯西判別法、柯西不等式、柯西方程……圖1 柯西柯西在數(shù)學(xué)史上是受到一些爭(zhēng)議的。其中，主要原因是他對(duì)青年學(xué)者的創(chuàng)造的忽視。作為法國(guó)科學(xué)院的審稿人之一，柯西弄丟了阿貝爾的的重要論文，這使得阿貝爾的貢獻(xiàn)沒有及時(shí)得到認(rèn)可，而阿貝爾也在貧病交加中去世。同一年，他又弄丟了伽羅瓦的開創(chuàng)性的論文手稿，這造成群論晚問世約半個(gè)世紀(jì)?？挛魅ナ狼罢f的最后一句話是：“人總是要死的，但是，他們的功績(jī)永存?！卑⒇悹柡唾ち_瓦都死了，但是他們的功績(jī)差一點(diǎn)就永存在柯西家的角落里。而柯西的確是一個(gè)數(shù)學(xué)天才，這一點(diǎn)也不可否認(rèn)。與其他很多偉大的數(shù)學(xué)家一樣，從小他就對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生了濃厚的熱愛。在少年時(shí)，柯西的數(shù)學(xué)才華得到了大數(shù)學(xué)家拉格朗日、拉普拉斯的賞識(shí)，并被預(yù)言在數(shù)學(xué)上定成大器。然而，因?yàn)槌錾诜▏?guó)大革命時(shí)期的緣故，艱苦的環(huán)境使得他長(zhǎng)得瘦小、發(fā)育不全。拉格朗日擔(dān)心這個(gè)瘦弱的孩子被累壞，所以給老柯西提出建議：在他17歲之前，不要讓他摸（高等）數(shù)學(xué)書”。長(zhǎng)大后的柯西曾在工學(xué)院學(xué)習(xí)，也當(dāng)過交通道路工程師，之后才轉(zhuǎn)入純數(shù)學(xué)的研究。也是因?yàn)樯眢w欠佳，柯西在40歲之后，只在“上班時(shí)間”研究數(shù)學(xué)。即使這樣，他發(fā)表論文的數(shù)量依舊驚人，在數(shù)學(xué)史上是僅次于歐拉的多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家。傳說柯西年輕的時(shí)候向巴黎科學(xué)院學(xué)報(bào)投論文之快之多，使得印刷廠為了印制這些論文搶購了巴黎市所有紙店的存貨，市面上紙價(jià)也大增，于是科學(xué)院通過決議，以后發(fā)表論文每篇篇幅不得超過4頁。接下來，我們將在柯西的眾多學(xué)術(shù)成果中拿出他在分析嚴(yán)格化中的工作著重談一談~2分析嚴(yán)格化的前夜：第二次數(shù)學(xué)危機(jī)在微積分歷史上，柯西處于早期開拓者和現(xiàn)代數(shù)學(xué)家之間的位置。前輩們創(chuàng)立了一個(gè)充滿直覺與質(zhì)樸的領(lǐng)域，而來自貝克萊主教的質(zhì)疑使得數(shù)學(xué)家們想盡辦法維護(hù)自己的尊嚴(yán)[2]。在柯西之前，牛頓和萊布尼茨依據(jù)他們各自的思想獨(dú)立地創(chuàng)建了微積分原理。牛頓建立微積分的過程中有兩大類思想。第一類思想建立在無限小量的基礎(chǔ)之上，在這一類思想中又分了兩種，一種是建立在運(yùn)動(dòng)學(xué)的背景之上，把時(shí)間瞬作為基本的無限小量，其他變量的瞬都是時(shí)間瞬的某一倍數(shù)；而第二種則擺脫了運(yùn)動(dòng)學(xué)的背景，把任何變量的瞬看作是不依賴于時(shí)間的靜止的無限小量，具有不可分量的色彩。第二類思想是首末比的思想，牛頓將其解釋為：“消逝量的最終比實(shí)際上并非最終量之比，而是無限減小的量之比所趨向的極限[1]?！边@可以理解為函數(shù)因變量的增量與自變量的增量之比在自變量增量趨于0時(shí)的極限。牛頓晚年偏向于首末比思想，他嘗試?yán)梦掷挂詠淼臉O限思想來加以說明，但并沒有明確定義極限。牛頓首末比微積分原理的主要問題在于，計(jì)算流數(shù)（導(dǎo)數(shù)）時(shí)，自變量先增加一個(gè)非零增量 ，求得變量增量之比的表達(dá)式之后，又令增量 消逝為0。這里關(guān)于增量o的前后假設(shè)矛盾[1]。圖2 牛頓晚年的微積分原理萊布尼茨建立微積分原理主要經(jīng)歷了兩個(gè)階段。第一個(gè)階段主要是關(guān)于特征三角形的研究，萊布尼茨從特征三角形的研究中主要意識(shí)到了求曲線的切線和求曲線下的面積這兩類問題與坐標(biāo)的差值變成無限小時(shí)的關(guān)系，并且意識(shí)到二者的互逆關(guān)系。第二個(gè)階段是把序列的求差求和運(yùn)算推廣到微積分運(yùn)算當(dāng)中，這依賴于萊布尼茨定義的微分。萊布尼茨把作為無窮小量的微分描述為正在消失或者剛出現(xiàn)的量，與已經(jīng)形成的量相對(duì)應(yīng)。微分不是0，但小于任意有限的量[3]。對(duì)于高階微分，萊布尼茨認(rèn)為高階微分和低階微分相比，如同點(diǎn)和直線相比一樣。這并不為同時(shí)代的許多數(shù)學(xué)家所理解。圖3 萊布尼茨的微積分原理3柯西的現(xiàn)行微積分體系是如何形成的？在牛頓與萊布尼茨創(chuàng)建微積分之后，英國(guó)和歐洲大陸分別沿著他們的路線進(jìn)一步發(fā)展微積分。英國(guó)數(shù)學(xué)家以牛頓的流數(shù)術(shù)為基礎(chǔ)，主要代表數(shù)學(xué)家是泰勒。由于幾何傳統(tǒng)與民族保守情緒，英國(guó)數(shù)學(xué)后期處于停滯狀態(tài)。歐洲大陸數(shù)學(xué)家以萊布尼茨的微分為基礎(chǔ)，沿用萊布尼雖然微積分的花園里春色滿園，但是關(guān)于微積分基礎(chǔ)的不牢固仍然是一個(gè)令人擔(dān)憂的問題。問題爆發(fā)于貝克萊主教的批判，一般認(rèn)為由以柯西為代表的數(shù)學(xué)家進(jìn)行了解決。牛頓的微積分原理的缺點(diǎn)在于自相矛盾，萊布尼茨的微積分原理的缺點(diǎn)在于微分的本質(zhì)說不清楚。這一事實(shí)既是柯西重建微積分原理的理由，也是柯西重建微積分原理的素材。1821年，柯西采用了以牛頓的微積分原理為共同思想，以萊布尼茨的符號(hào)為表現(xiàn)形式的微積分發(fā)展路線，并與后來的數(shù)學(xué)家黎曼、魏爾斯特拉斯、達(dá)布和勒貝格一道建立了現(xiàn)行微積分體系。由于萊布尼茨的微分說不清楚，柯西只能沿著牛頓的首末比思想，利用達(dá)朗貝爾的極限概念對(duì)牛頓的首末比微積分原理加以說明和發(fā)展。柯西關(guān)于極限的定義是這樣的：“當(dāng)同一變量逐次所取的值無限趨向于一個(gè)固定的值，最終使它的值與該定值要多小就多小，那么最后這個(gè)定值就稱為所有其他值的極限[4]。”以極限為基礎(chǔ)，柯西把無限小量定義為以0為極限的變量，導(dǎo)數(shù)定義為差商的極限，微分則由導(dǎo)數(shù)導(dǎo)出，定積分定義為對(duì)于區(qū)間劃分求和后的極限?？梢钥吹皆诳挛鞯奈⒎e分原理中，幾乎所有的基本概念都是依賴于極限定義的，其體系的結(jié)構(gòu)和現(xiàn)在的微積分結(jié)構(gòu)基本相同，形成了現(xiàn)代微積分原理的雛形。圖4 柯西的微積分原理在牛頓的首末比微積分原理中，由于幾何與運(yùn)動(dòng)學(xué)背景，流量可視為曲線下的面積，即柯西微積分原理中的定積分；由流量可得到流數(shù)，同樣知道了流數(shù)也可反推流量，這樣流量也可視為反流數(shù)，即柯西微積分原理中的原函數(shù)。牛頓默認(rèn)了反流數(shù)和積分是等同的東西，而在柯西的微積分原理體系中，二者在定義上是完全獨(dú)立的，在數(shù)值上由微積分基本定理聯(lián)系起來，通過極限加以嚴(yán)格證明。由于微積分的方法幾乎都是沿著萊布尼茨的微積分原理發(fā)展起來的，柯西在重建微積分原理時(shí)理所應(yīng)當(dāng)?shù)匾堰@些方法囊括進(jìn)來，從而雖然在牛頓的首末比微積分原理中并未給微分留任何位置，即使是考慮微分的表達(dá)形式很好用，柯西也必須定義微分。只是柯西的微分與萊布尼茨的微分已大相徑庭。萊布尼茨的微分是針對(duì)變量定義的，而柯西的微分是針對(duì)函數(shù)定義的。而這針對(duì)函數(shù)定義的微分，為了湊出 的形式，最后會(huì)歸結(jié)為增量 是如何過渡到微分 ，柯西利用恒等函數(shù)，通過特殊代一般的邏輯完成這個(gè)過渡過程[4]，詳情見附錄。柯西的以極限為基礎(chǔ)、以牛頓的首末比思想為主要內(nèi)容、以萊布尼茲的符號(hào)為主要形式的微積分原理，相比于前人對(duì)許多基本概念給出了嚴(yán)格化的定義，使得微積分有了嚴(yán)格的基礎(chǔ)。但是由于大部分微積分方法是沿著萊布尼茲的微積分原理發(fā)展起來的，而柯西在將方法囊括進(jìn)來時(shí)，更像是后驗(yàn)的極限語言的驗(yàn)證，而不具有“發(fā)明者的藝術(shù)”。附錄：柯西關(guān)于單變量函數(shù)的微分定義如下[4]：參考文獻(xiàn)[1] 李文林著. 數(shù)學(xué)史概論 第3版. 北京：高等教育出版社, 2011.02.[2] WilliamDunham著. 微積分的歷程：從牛頓到勒貝格. 北京：人民郵電出版社, 2010.08.[3]M·克萊因著.古今數(shù)學(xué)思想.上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，2009.10.[4] 李文林主編. 數(shù)學(xué)珍寶 歷史文獻(xiàn)精選. 北京：科學(xué)出版社, 1998.10.本文經(jīng)授權(quán)轉(zhuǎn)載自微信公眾號(hào)“數(shù)學(xué)經(jīng)緯網(wǎng)”。特 別 提 示1. 進(jìn)入『返樸』微信公眾號(hào)底部菜單“精品專欄“，可查閱不同主題系列科普文章。2. 『返樸』提供按月檢索文章功能。關(guān)注公眾號(hào)，回復(fù)四位數(shù)組成的年份+月份，如“1903”，可獲取2019年3月的文章索引，以此類推。